2. STEERABLE FILTERs:
In contrast to the steerability of a car, steerable filters are a little more challenging to intuit. Both, however, share the underlying goal of achieving a consistent and predictable response to a specific parameter — a response that is intimately linked to the inherent transformations of the filter itself.
An intuitive example might be the following: think of a wind vane on a rooftop that shows the direction of the wind. Instead of installing a separate sensor for every possible wind direction, which would be impractical, you have a wind vane that rotates to align with the current wind direction.A steerable filter is like a wind vane. It adapts to directions encoded in input signals without needing a unique sensor for each possibility. In the same way, steerable filters in image processing adapt to different features or orientations in an image without requiring a separate filter for every possible orientation of the input. This approach offers an intelligent and effective method for modeling systems. In the context of machine learning, it enables us to concentrate on constructing valuable models without worrying about augmentation or incorporating additional weights to handle different orientations.
While steerability can be applied generally to any set of transformations, we will here use rotations to introduce the idea in a more formal way.
Let 𝛙: ℝᵈ →ℝᵈ¹ be a convolution map whose kernel function is k.
Be x∈ℝⁿ , given an input signal depending on x , f(x) ∈ ℝᵈ, and output signal , f ₁(x) ∈ ℝᵈ¹ , we can write: f ₁(x)= 𝛙( f(x)) which means f ₁(x)= k(x) ∗ f(x) .
This filter is defined steerable with respect to rotations if :
(1) its convolution kernel k(x) of each output element, can be expressed as a sum of basis functions ψⱼ(x), j=1,..M.
(2) the filter’s rotation by an arbitrary angle θ , g_θ, can be expressed in terms of rotations applied to each single basis function (this is valid for each θ). In mathematical terms it means:
Thanks to this property, it is possible to uniquely orient the filter’s response to an input, by modifying the values of wⱼ. Let’s provide an example.
The simplest illustration of a single steerable filter is in 2D space a filter whose kernel function is the directional derivative of a two-dimensional Gaussian. In this case the k: ℝ² →ℝ and x = (x₁,x₂) ∈ ℝ² :
In the following lines we will show that this filter is steerable in the sense explained above.
From the theory we know that, given that k codomain is ℝ, we can write the rotated filter as Eq.3 (for more info look at Eq.3 in the next session).
By developing this equation we can show the steerability:
In this case we have applied the transformation g_θ: ℝ²→ℝ² and it is represented by the 2D euler matrix (see later induced representation). If we calculate k(g_θ ⁻¹(x₁,x₂)), we can see, after some algebra, that the generic rotated version of this impulsive filter can be expressed as a linear combination of two basis functions ѱ₁(x₁,x₂) and ѱ₂(x₁,x₂) with coefficient parameterized by θ.
As possible to see in the equation reported below (Eq.6) , given the linearity of convolution, it is always possible to express the convolution of an input function f with the θ-rotated impulsive response g_θ(k(x,y))=k_θ as a linear combination of the convolutions of f with the single basis ѱ₁,ѱ₂ of k.
This formula highlights the power of steerable filters in a neural network.
By incorporating these filters, we have the potential to construct a steerable kernel that ‘steers’ its responses to the orientation of the input. Each basis function acts like a versatile tool, permitting the network to efficiently blend these functions using learned weights ‘w₁’ and ‘w₂’ to respond accurately to varying orientations. For instance, when the network encounters data with varying orientations, such as a rotated object in an image, it configures these weights to align the kernel’s responses to the orientation of the input data. This adaptability enhances efficiency and effectiveness, leading to the same or better outcomes with fewer parameters. For this reason this approach can be used as the foundation for a more powerful CNN using steerable properties to handle diverse input orientations.
Specifically, in next article, we’ll explore this further and see how a we can use the concept of steerable filter to build equivariant filters.
However, before we dive in, some definitions in this context will provide clarity and aid our discussion. For this reason in the next paragraph we introduce some formalism around convolution.
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